Question

（）（本題14分）如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

,∠BCF=∠CEF=90°,AD=

    （Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；

（Ⅱ）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

Answer 1

（Ⅰ）略(Ⅱ) 當AB為時，二面角A－EFC的大小為60°．

解析:

本題主要考查空間線面關系、空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力。

    方法一：

    （Ⅰ）證明：過點E作EG⊥CF并CF于G，連結DG，可得四邊形BCGE為矩形。又ABCD為矩形，所以AD⊥∥EG,從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG。

因為AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF。

（Ⅱ）解：過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連結AH。

          由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得

                   AB⊥平面BEFC，

      從而         AH⊥EF，

      所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角。

          在Rt△EFG中，因為EG=AD=

          又因為CE⊥EF，所以CF=4，

      從而       BE=CG=3。

           于是BH=BE·sin∠BEH=

           因為AB=BH·tan∠AHB,

      所以當AB為時，二面角A-EF-G的大小為60°.

方法二：

    如圖，以點C為坐標原點，以CB、CF和CD分別

作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系C-xyz.

    設AB=a,BE=b,CF=c,

則C（0，0，0），A（

（Ⅰ）證明：

      所以

      所以CB⊥平面ABE。

              因為GB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF

故AE∥平面DCF

（II）解：因為，

所以，從而

解得b＝3，c＝4．

所以．

設與平面AEF垂直，

則      ，

解得    ．

又因為BA⊥平面BEFC，，

所以，

得到   ．

所以當AB為時，二面角A－EFC的大小為60°．