Question

如圖，直角梯形中，,點分別是的中點，點在上，沿將梯形翻折，使平面平面.

（1）當最小時，求證：;

（2）當時，求二面角平面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）參考解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）因為當最小時，及連結AC與EF的交點即為G點，通過三角形的相似可得到EG的長度.需要證明直線與直線垂直，根據題意建立空間直角坐標系，即可得到相關各點的坐標，從而寫出相關向量，即可判斷直線的垂直關系.

（2）由題意所給的體積關系可確定點G的位置，求二面角關鍵是轉化為兩平面的法向量的夾角，由于平面BCG的法向量易得，關鍵是求出平面DGB的法向量.通過待定系數法即可求得，還需判斷二面角與法向量夾角的大小關系.解法二用到的推理論證的數學思想很重要.

試題解析：(1)證明：∵點、分別是、的中點,∴EF//BC

又∠ABC=90°∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，

如圖建立空間坐標系E﹣xyz．

翻折前,連結AC交EF于點G,此時點G使得AG+GC最小.

EG=BC=2,又∵EA=EB=2．

則A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),

∴=(﹣2,2,2),=(-2,-2,0)

∴=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0，

∴⊥

(2)解法一：設EG=k,

∥平面,點D到平面EFCB的距離為即為點A到平面EFCB的距離.

[(3- k)+4]×2=7-k

=

又=,

,=,

即EG=1

設平面DBG的法向量為,∵G(0,1,0),

∴(－2,2,2),

則 ,即

取x＝1,則y＝2,z＝－1,∴

面BCG的一個法向量為

則cos<>= 由于所求二面角D-BF-C的平面角為銳角,

所以此二面角平面角的余弦值為

(2)解法二:由解法一得EG=1,過點D作DHEF,垂足H,過點H作BG延長線的垂線垂足O，連接OD.

∵平面AEFD⊥平面EBCF, DH平面EBCF，ODOB,所以就是所求的二面角的平面角.由于HG=1,在OHG中,

又DH=2，在DOH中

所以此二面角平面角的余弦值為

考點：1.圖形的翻折問題.2.線面垂直的判定.3.二面角的求法.4.空間坐標系中的運算.5.空間想象能力.