Question

（本小題滿分12分）
設函數f (x)＝ln(x＋a)+x².
（Ⅰ）若當x＝1時，f (x)取得極值，求a的值，并討論f (x)的單調性；
（Ⅱ）若f (x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln.

Answer 1

（Ⅰ）；分別在區間單調遞增，在區間單調遞減．
（Ⅱ），證明見解析

（Ⅰ），依題意有，故．
從而．的定義域為，
當時，；當時，；
當時，．
分別在區間單調遞增，在區間單調遞減．
（Ⅱ）的定義域為，．
方程的判別式．
（ⅰ）若，即，在的定義域內，故無極值．
（ⅱ）若，則或．
若，，．
當時，，
當時，，所以無極值．
若，，，也無極值．
（ⅲ）若，即或，則有兩個不同的實根，．
當時，，從而有的定義域內沒有零點，故無極值．
當時，，，在的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知在取得極值．
綜上，存在極值時，的取值范圍為．
的極值之和為
.