Question

（本小題滿分14分）
已知函數的圖像在點P(0,f(0))處的切線方程為.
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）設是上的增函數.
（ⅰ）求實數m的最大值；
（ⅱ）當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線能與曲線圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）（II）（ⅰ）的最大值為3（ⅱ）存在點，使得過點的直線若能與函數的圖像圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等。

本小題主要考察函數、導數等基礎知識，考察推力論證能力、抽象概況能力、運算求解能力，考察函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉換思想、分類與整合思想。滿分14分。
解法一：
（Ⅰ）由及題設得即。
（Ⅱ）（ⅰ）由
得。
是上的增函數，在上恒成立，
即在上恒成立。
設。
，
即不等式在上恒成立
當時，不等式在上恒成立。
當時，設，
因為，所以函數在上單調遞增，
因此。
，即。
又，故。
綜上，的最大值為3。
（ⅱ）由（ⅰ）得，其圖像關于點成中心對稱。
證明如下：



因此，。
上式表明，若點為函數在圖像上的任意一點，則點也一定在函數的圖像上。而線段中點恒為點，由此即知函數的圖像關于點成中心對稱。
這也就表明，存在點，使得過點的直線若能與函數的圖像圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（ⅰ）由
得。
是上的增函數，在上恒成立，
即在上恒成立。
設。
，
即不等式在上恒成立。
所以在上恒成立。
令，，可得，故，即的最大值為3.
（ⅱ）由（ⅰ）得，
將函數的圖像向左平移1個長度單位，再向下平移個長度單位，所得圖像相應的函數解析式為，。
由于，所以為奇函數，故的圖像關于坐標原點成中心對稱。
由此即得，函數的圖像關于點成中心對稱。
這也表明，存在點，是得過點的直線若能與函數的圖像圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等。