Question

已知函數．
（1）若函數在上是增函數，求實數的取值范圍；
（2）若函數在上的最小值為3，求實數的值．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）這是一個由函數在某區間上是增函數，求參數取值范圍的問題，可轉化為其導函數在此區間上恒大于或等于0的一個恒成立問題，恒成立問題是我們所熟悉的問題，可分離參數解答，也可由函數本身的性質作出判斷；（2）這是一個求含參函數在某區間上的最小值問題，可通過導數的符號去判斷函數的單調區間，當然一般會涉及對參數的討論，之后利用單調性則可求出函數的最小值，再由最小值為3，就可求出參數的值.
試題解析：（1）∵，∴．
∵在上是增函數，
∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立．
令，則≤．
∵在上是增函數，∴．
∴≤1．所以實數的取值范圍為．
（2）由（1）得，．
①若，則，即在上恒成立，此時在上是增函數．
所以，解得（舍去）．
②若，令，得．當時，，所以在上是減函數，當時，，所以在上是增函數．
所以，解得（舍去）．
③若，則，即在上恒成立，此時在上是減函數．
所以，所以．