Question

已知二次函數f(x)=x²+ax（）．
（1）若函數y=f(sinx+cosx)()的最大值為，求f(x)的最小值；
（2）當a>2時,求證：f(sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x)1–a.其中x∈R,x¹kp且x¹kp(k∈Z).

Answer 1

（1）；（2）見解析.

解析試題分析：（1）先求的值域，再討論a的范圍，根據最大值，求最小值；（2）利用導數先求sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x的值域，再根據二次函數求結論.
試題解析：(1)令，，        2分
，當a<0時，t=–2時，，
解得：
此時，．            2分
當時，t=2時，，解得：
此時，
綜合上述，條件滿足時，的最小值為             2分
(2)x∈R，且
又，故設，則有
設(其中t∈(0，1))           2分
             2分
令，得
當時，，所以在(0，)單調遞減，
當時，，所以在(，1)單調遞增，
時取最小值等于
即有          3分
當a>2時，的對稱軸，
上單調遞增，
         2分
考點：1、利用導數求函數的單調性；2、二次函數；3、導數與二次函數、三角函數的綜合應用.