Question

已知函數，

（1）當且時，證明：對，；

（2）若，且存在單調遞減區間，求的取值范圍；

（3）數列，若存在常數，，都有，則稱數列有上界。已知，試判斷數列是否有上界．

 

Answer 1

【答案】

（1），，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以在處取最大值，即，，即

（2）（3）數列無上界

【解析】

試題分析：⑴當且時，設，，……1分，解得。

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以在處取最大值，即，，即

（2）若，=

所以

因為函數存在單調遞減區間，所以在上有解

所以在上有解

所以在上有解，即使得

令，則，研究，當時，

所以

（3）數列無上界

，設，，由⑴得，，所以，，取為任意一個不小于的自然數，則，數列無上界。

考點：函數單調性最值與不等式與函數的轉化

點評：不等式恒成立問題常轉化為求函數最值問題，第二問將函數存在減區間首先轉化為導數小于零有解，進而轉化為求函數最值，通過本題要加強不等式與函數的互相轉化的思維思路的培養與訓練