Question

已知函數f(x)=-ax(a∈R,e為自然對數的底數).
(1)討論函數f(x)的單調性；
(2)若a=1，函數在區間（0，+）上為增函數，求整數m的最大值.

Answer 1

(1)當時，在上為增函數；當時，在為減函數，在為增函數；(2)的最大值為1．

解析試題分析：(1)討論函數的單調性首先注意明確函數的定義域，由于該函數是超越函數與一次函數的和構成的，所以考慮用導數，先求出函數的導數得，由指數函數的性質可知要確定導數的正負須按和分類討論,確定導數的符號而求出函數的單調區間；(2)函數在區間（0，+）上為增函數在恒成立，分離參數m，從而將所求問題轉化為求函數的最值問題，構造新函數，再用導數研究此函數的最小值即可；注意所求的m為整數這一特性．
試題解析：(1)定義域為，，
當時，，所以在上為增函數；      2分
當時，由得，且當時，，
當時，
所以在為減函數，在為增函數．     6分
(2)當時，，
若在區間上為增函數，
則在恒成立，
即在恒成立           8分
令，；
，；令，
可知，，
又當時，
所以函數在只有一個零點，設為，即，
且；    9分
由上可知當時，即；當時，即，
所以，，有最小值，    10分
把代入上式可得，又因為，所以，
又恒成立，所以，又因為為整數，
所以，所以整數的最大值為1．       12分
考點：１．利用函數的導數求單調區間；２．利用函數的導數求最值；３．不等式的恒成立．