Question

設函數．
(1)求f(x)的單調區間和極值;
(2)關于的方程f(x)=a在區間上有三個根,求a的取值范圍．

Answer 1

(1) f(x)的單調增區間為,；單調減區間為;當時f(x)有極大值,當x=2時, f(x)有極小值-8．
(2)

解析試題分析：（1）首先求出函數的導數，然后根據導數與單調區間的關系確定函數的單調區間，根據函數單調性即可求得函數極值；
（2）關于的方程f(x)=a在區間上有三個根,即函數y=a與y=f（x）的圖象在區間上有三個交點，只需要函數y=" f(x)" 和函數y="a" 的圖像有兩個交點．根據函數單調性變化情況，可求得實數a的值．
(1) ,由得        (2分)

x				2
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

由上表得, f(x)的單調增區間為,；單調減區間為;
當時f(x)有極大值,當x=2時, f(x)有極小值-8．                      (6分)
(2)由題知,只需要函數y=" f(x)" 和函數y="a" 的圖像有兩個交點．                (7分)
 ,所以                 
由(1)知f(x)在,當上單調遞減, 上單調遞增,在在上單調遞減． (10分)
∴當 時, y=" f(x)" 和y="a" 的圖像有兩個交點．即方程f(x)=a在區間上有三個根．                    (12分)
考點：函數的單調區間和極值;函數圖像的交點與方程的根的對應關系．