Question

拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求證：；
（2）過作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于原點(diǎn)），
（ⅰ）是否恒成等差數(shù)列，請說明理由；
（ⅱ）重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.

Answer 1

（1） 即證   （2） 能   拋物線

解析試題分析：（1）由于點(diǎn)F的坐標(biāo)已知，所以可假設(shè)直線AB的方程（依題意可得直線AB的斜率存在）.寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程消去y，即可得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，再根據(jù)欲證轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系.
（2）（ⅰ）根據(jù)提議分別寫出，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證是否成立.
（ⅱ）由三角形重心的坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理，消去參數(shù)k即可得到重心的軌跡.
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/33/3/v3nx8.png" style="vertical-align:middle;" />，所以假設(shè)直線AB為，，所以點(diǎn).聯(lián)立可得，，所以.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/59/d/4akn4.png" style="vertical-align:middle;" />， .所以.
（2）（ⅰ）設(shè)，的導(dǎo)數(shù)為.所以可得，即可得.即得.
..所以可得即是否恒成等差數(shù)列.
（ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ce/6/1wqhq3.png" style="vertical-align:middle;" />重心的坐標(biāo)為由題意可得.即，消去k可得.
考點(diǎn)：1.拋物線的性質(zhì).2.解方程的思想.3.等差數(shù)列的證明.4.三角形的重心的公式.5.運(yùn)算能力.6.分析問題和解決問題的能力、以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.