Question

定義在上的函數同時滿足以下條件：
①在(0,1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數；
②是偶函數；
③在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直．
(1)求函數＝的解析式；
(2)設g(x)＝，若存在實數x∈[1，e]，使<，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）利用已知條件可知f′(x)＝3ax²＋2bx＋c中b＝0，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，另外根據條件③知f′(0)＝c＝－1，從而能夠求出a，b，c的值；（2）對于恒成立求參數m的取值范圍，可以利用分離參數法，得到m>xlnx－x³＋x，構造函數M(x)＝xlnx－x³＋x，通過兩次求導，得到M(x)在[1，e]上遞減，且M(x)的最小值為2e－e³，故m>2e－e³.
試題解析：（1）f′(x)＝3ax²＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數，
∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①
由f′(x)是偶函數得：b＝0②
又f(x)在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③
由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x³－x＋3.
（2）由已知得：存在實數x∈[1，e]，使lnx－<x²－1
即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x³＋x
設M(x)＝xlnx－x³＋x　x∈[1，e]，則M′(x)＝lnx－3x²＋2
設H(x)＝lnx－3x²＋2，則H′(x)＝－6x＝
∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上遞減
于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0
∴M(x)在[1，e]上遞減，∴M(x)≥M(e)＝2e－e³
于是有m>2e－e³為所求．
考點：1.函數的奇偶性與利用導函數求最值；2.恒成立求參數取值范圍問題.