Question

（12分）已知圓及定點，點Q是圓A上的動點，點G在BQ上，點P在QA上，且滿足，=0．

（I）求P點所在的曲線C的方程；

   (II)過點B的直線與曲線C交于M、N兩點，直線與y軸交于E點，若為定值。

 

Answer 1

【答案】

（I）+y²=1；（ⅡI）見解析．

【解析】（1）由，=0得垂直平分線段，

即，所以，根據橢圓的定義得曲線C的方程；

（2）利用點M、N在橢圓上， ，可得到，

                  ．，是方程的兩個根，∴ ．

                                   

也可以設出直線  的方程，與橢圓  的方程聯立，求出，．由，可得到，整理

∵，=0∴垂直平分線段，

即，所以，由橢圓定義：

曲線C的方程為+y²=1              5分

（Ⅱ）證法1：設點的坐標分別為，

又易知點的坐標為．且點B在橢圓C內,故過點B的直線l必與橢圓C相交．

                  ∵，∴．

                  ∴ ，．        7分

                  將M點坐標代入到橢圓方程中得：，

                  去分母整理，得．           10分

                  同理，由可得：．

                  ∴ ，是方程的兩個根，

                  ∴ ．                  12分

（Ⅱ）證法2：設點的坐標分別為，又易知點的坐標為．且點B在橢圓C內,故過點B的直線l必與橢圓C相交．

                  顯然直線  的斜率存在，設直線  的斜率為 ，則直線  的方程是 ．

                  將直線  的方程代入到橢圓  的方程中，消去  并整理得

                  ．  8分

                  ∴ ，．

                  又 ∵，

                  則．∴，

                  同理，由，∴．             10分

                  ∴．  12分