Question

已知命題p：指數函數f(x)＝(2a－6)^x在R上單調遞減，命題q：關于x的方程x²－3ax＋2a²＋1＝0的兩個實根均大于3.若p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

{a|<a≤3或a≥}．

試題分析：若p真，則f(x)＝(2a－6)^x在R上單調遞減，
∴0<2a－6<1，∴3<a<，
若q真，令f(x)＝x²－3ax＋2a²＋1，則應滿足
，
∴，故a>，
又由題意應有p真q假或p假q真．         6分
①若p真q假，則，a無解．
②若p假q真，則，
∴<a≤3或a≥.          6分
故a的取值范圍是{a|<a≤3或a≥}．           14分
點評：⑴本題主要考查一個一元二次方程根的分布問題．在二次項系數不確定的情況下，一定要分二次項系數分為0和不為0兩種情況討論．
⑵設一元二次方程（）的兩個實根為，，且。
① ，(兩個正根)；
② ，(兩個負根)；
③ (一個正根一個負根)。