Question

已知關于x的二次函數f（x）=ax²-8bx+1．
（1）設集合M={1，2，3}和N={-1，1，2，3，4，5}，從集合M中隨機取一個數作為a，從N中隨機取一個數作為b，求函數y=f（x）在區間[2，+∞）上是增函數的概率；
（2）設點（a，b）是區域

x+y-6≤0 x＞0 y＞0

內的隨機點，求函數y=f（x）在區間[2，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

分析：（I）記事件A=“函數y=f（x）在區間上是增函數”，根據二次函數的圖象與性質，可得A包含的基本事件需滿足a∈M、b∈N且2b≤a，由此可得共有5個基本事件，再由古典概型計算公式即可算出所求的概率．
（II）作出不等式組表示的平面區域，得到△AOC及其內部，其中A（6，0），B（0，6）．再由（I）的不等式組解出符合題意的不等式組表示的平面區域為△AOB及其內部，其中B（4，2），由此結合幾何概型計算公式即可算出相應的概率．

解答：解（Ⅰ）∵函數f（x）=ax²-8bx+1的圖象的對稱軸為x=

4b

a

．
∴要使f（x）=ax²-8bx+1在區間[2，+∞）上為增函數，
當且僅當a＞0且

4b

a

≤2，即2b≤a．…2′
由此可得：若a=1，則b=-1；若a=2則b=±1；若a=3，則b=±1．…5′
記事件A=“函數y=f（x）在區間上是增函數”
則事件A包含基本事件的個數是1+2+2=5個
因此，所求事件A的概率為P(A)=

5

18

．…7′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當且僅當2b≤a且a＞0時，函數f（x）=ax²-8bx+1在區間[2，+∞）上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為：

a+b-6≤0 a＞0 b.0

，
對應圖中的△AOC及其內部，其中A（6，0），B（0，6）
而構成所求事件的區域為△AOB部分及其內部，如圖所示．…9′
由

a+b-6=0 b= a 2

解得交點為B（4，2）．…11′
∴函數在區間[2，+∞）上是增函數的概率為P=

S△AOB

S△AOC

=

1 2 ×6×2

1 2 ×6×6

=

1

3

．…14′．
答：兩種情況下，函數y=f（x）在區間[2，+∞）上是增函數的概率分別為

5

18

和

1

3

．

點評：本題著重考查了二次函數的圖象與性質、古典概型和幾何概型計算公式，考查了二元一次不等式組表示的平面區域等知識，屬于中檔題．