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已知關于x的二次函數f（x）=x2+（2t-1）x+1-2t．
（1）求證：對于任意t∈R，方程f（x）=1必有實數根；
（2）若方程f（x）=0在區間（-1，2）上有兩個實數根，求t的范圍．
分析：（1）欲使得對于任意t∈R，方程f（x）=1必有實數根，只須其根的判別式大于等于0，由此只須驗證△≥0即可；
（2）欲使方程f（x）=0在區間（-1，2）上有兩個實數根，結合二次函數的圖象可得：①△≥0；②對稱軸在-1與2之間；③函數在x=-1和x=2處的函數值均為正，據此三點列出不等關系解之即得t的范圍．
解答：解：（1）f（x）=1即x2+（2t-1）x-2t=0
△=（2t-1）2+8t=（2t+1）2≥0
∴f（x）=1必有實數根．
（2）若f（x）=0在（-1，2）上有兩個實數根
∴
△=(2t-1)2-4(1-2t)≥0
-1＜-
2t-1
2
＜2
f(-1)＞0
f(2)＞0
得
t≥
1
2
或t≤-
3
2
-
3
2
＜t＜
3
2
t＜
3
4
t＞-
3
2
得
1
2
≤t＜
3
4

所以t的范圍為[
1
2
，
3
4
)．
點評：本小題主要考查二次函數的性質、二次函數根的判別式、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的二次函數f（x）=ax2-2bx-1，（其中常數a、b∈R），滿足
a+b-6≤0
a＞0
b＞0
，則函數y=f（x）在區間[2，+∞）上是增函數的概率是（　　）
A、
1
4
B、
1
3
C、
1
2
D、
2
3

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知關于x的二次函數f（x）=x2+ax-b（a，b∈R）．
（Ⅰ）當b=-2時，由于對任意的x∈R，函數f（x）的值總大于零，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）如果方程f（x）=0有一個負根和一個不大于1的正根，求實數a，b滿足的條件，并在右圖所給坐標系中畫出點（a，b）所在的平面區域；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，若實數k滿足b=k（a+1）+3，求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的二次函數f（x）=ax2-8bx+1．
（1）設集合M={1，2，3}和N={-1，1，2，3，4，5}，從集合M中隨機取一個數作為a，從N中隨機取一個數作為b，求函數y=f（x）在區間[2，+∞）上是增函數的概率；
（2）設點（a，b）是區域
x+y-6≤0
x＞0
y＞0
內的隨機點，求函數y=f（x）在區間[2，+∞）上是增函數的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的二次函數f（x）=ax2-4bx+1
（Ⅰ）設集合P={1，2，3}，集合Q={-1，1，2，3，4}，從集合P中隨機取一個數作為a，從集合Q中隨機取一個數作為b，求函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率；
（Ⅱ）設點（a，b）是區域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
內的隨機點，求函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

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