Question

已知關于x的二次函數f（x）=ax²-4bx+1
（Ⅰ）設集合P={1，2，3}，集合Q={-1，1，2，3，4}，從集合P中隨機取一個數作為a，從集合Q中隨機取一個數作為b，求函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率；
（Ⅱ）設點（a，b）是區域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內的隨機點，求函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據古典概率的概率公式進行計算即可求出概率．
（Ⅱ）根據幾何概型的概率公式進行計算即可．

解答：解（Ⅰ）∵函數f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數，
當且僅當a＞0且x=

2b

a

≤1，
即2b≤a．
若a=1，則b=-1；
若a=2，則b=-1，1；
若a=3，則b=-1，1，
∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5
∴所求事件的概率為

5

15

=

1

3

．
（Ⅱ）由（1）知當且僅當2b≤a．且a＞0時，
函數f（x）=ax²-4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
構成所求事件的區域為三角形部分．
由

a+b-8=0 b= a 2

，解得a=

16

3

，b=

8

3

，即交點坐標（

16

3

，

8

3

），
∴所求事件的概率為P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

．

點評：本題只要考查概率的求法，要求熟練掌握古典概型和幾何概型的概率公式，注意它們之間的聯系和區別．