Question

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，及其零點(diǎn)，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化，即可得原函數(shù)增減變化，可得其極值。（Ⅱ）函數(shù)在是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，對(duì)恒成立問(wèn)題。即的最小值大于等于0.將問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為求的最小值問(wèn)題。仍用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，用單調(diào)性求最值的方法求的最小值。所以需設(shè)函數(shù)，對(duì)函數(shù)重新求導(dǎo)，求極值。判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化，得的增減區(qū)間，的最小值。

試題解析：解：（Ⅰ）定義域．

當(dāng)時(shí)，，．

令，得．

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).

所以函數(shù)的極小值是． 5分

（Ⅱ）由已知得．

因?yàn)楹瘮?shù)在是增函數(shù)，所以，對(duì)恒成立．

由得，即對(duì)恒成立．

設(shè)，要使“對(duì)恒成立”，只要．

因?yàn)?/span>，令得．

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).

所以在上的最小值是．

故函數(shù)在是增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是 13分

考點(diǎn)：1函數(shù)的概念和性質(zhì)；2導(dǎo)數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)。