數列
、
的每一項都是正數,
,
,且
、
、
成等差數列,、、
成等比數列,
.
（Ⅰ）求
、
的值；
（Ⅱ）求數列、的通項公式；
（Ⅲ）記
，證明：對一切正整數
，有
.
(Ⅰ)
；（Ⅱ）
，
；（Ⅲ）答案詳見解析.
解析試題分析：(Ⅰ)依題意，
，
，并結合已知
，
，利用賦值法可求
、
的值；（Ⅱ）由①，②，且
，則
，
（
），代入①中，得關于
的遞推公式
，故可判斷數列
是等差數列，從而可求出，代入（）中，求出（），再檢驗
時，是否滿足，從而求出
；（Ⅲ）和式
表示數列
的前
項和，故先求通項公式
，再選擇相應的求和方法求和，再證明和小于
.
試題解析：(Ⅰ)由
，可得
.由
，可得
.
（Ⅱ）因為、、成等差數列，所以…①.因為、、成等比數列，所以，因為數列、的每一項都是正數，所以…②.于是當
時…③. 將②、③代入①式，可得，因此數列是首項為4，公差為2的等差數列，
所以
，于是. 則
.
當時，，滿足該式子，所以對一切正整數，都有.
（Ⅲ）方法一:
，所以
.
于是
.
方法二:
.
于是
.
考點：1、等差中項和等比中項；2、數列的遞推公式；3、數列求和.
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知各項均不相等的等差數列{an}的前5項和為S5＝35，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比數列．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設Tn為數列
的前n項和，問是否存在常數m，使Tn＝m
，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設數列{an}滿足an+1=2an+n2-4n+1．
（1）若a1=3，求證：存在
（a，b，c為常數），使數列{an+f(n)}是等比數列，并求出數列{an}的通項公式；
（2）若an是一個等差數列{bn}的前n項和，求首項a1的值與數列{bn}的通項公式．
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是等差數列，且
，求數列
前n項和
的前
項和為
，且
．
；
，
是數列
的前
對所有
都成立的最小正整數
．
的前n項和為
，且
。
，數列
的前n項和為
，證明：
。
的前
項和為
，且
是
的等差中項，等差數列
滿足
，
.
，數列
的前
，求
的取值范圍.
的通項公式為
，在等差數列數列
中，
，且
，又
、
、
成等比數列.
的通項公式；
項和
.