Question

已知函數
（I）當a=18時，求函數的單調區間；
（II）求函數在區間上的最小值．

Answer 1

（1）函數f（x）的單調遞增區間是（4，+∞），單調遞減區間是（0.4）．
（2）e²-4e+2-a．

試題分析：解：（1）當a=18時，f（x）=x²-4x-16lnx（x＞0），所以f'（x）=2x-4- ，由f'（x）＞0，解得x＞4或一2＜x＜0，注意到x＞0，所以函數f（x）的單調遞增區間是（4，+∞）．由f'（x）＜0，解得0＜x＜4或x＜-2．注意到x＞0，所以函數f（x）的單調遞減區間是（0，4）．綜上所述，函數f（x）的單調遞增區間是（4，+∞），單調遞減區間是（0.4）．（2）當x∈[e，e²]時，f（x）=x²-4x+（2-x）lnx， f'（x）=2x-4+ 設g（x）=2x²-4x+2-a．當a＜0時，有△=16-4×2（2-a）=8a＜0，此時g（x）＞0恒成立，所以f'（x）＞0，f（x）在[e，e²]上單調遞增，所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．當a＞0時，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1+或x＜1-令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得1-＜x＜．①當≥e²，即a≥2（e2-1）2時，f（x）在區間[e，e²]上單調遞減，所以f（x）_min=f（e²）=e⁴-4e2+4-2a；②當e＜＜e²，即2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時，在區間[e，]上單調遞減，在區間[，e²]上單調遞增，所以f（x）_min=f()=a-3+（2-a）ln（）；③當≤e，即0＜a≤2（e-1）²時，以f（x）在區間[e，e²]上單調遞增，所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．綜上所述，當a≥2（e²-1）²時，f（x）_min=e⁴-4e²+4-2a；當2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時，f（x）_min=-3+（2-a）ln（）；當a＜0或0＜a≤2（e-1）²時，f（x）_min=e²-4e+2-a．
點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查函數的最小值的求法，綜合性強，難度大，計算繁瑣．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用。