Question

已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，

（Ⅰ）；(5分)

（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列，一定存在，使；(5分)

（Ⅲ）令，當(dāng)時(shí)，求證：(6分)

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）詳見(jiàn)解析;（Ⅲ）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，可見(jiàn)由得出前項(xiàng)成等差數(shù)列，項(xiàng)以后奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，這樣結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)公式就可求出;（Ⅱ）以和為界對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，顯然成立;當(dāng)時(shí)，由題中所給數(shù)列的遞推關(guān)系，不難得到;當(dāng)時(shí)，得，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)的情況，命題即可得證; （Ⅲ）由可得，根據(jù)題中遞推關(guān)系可得出，進(jìn)而可得出=，又，由于要對(duì)分奇偶性，故可將相鄰兩整數(shù)當(dāng)作一個(gè)整體，要證不等式可進(jìn)行適當(dāng)放縮，要對(duì)分奇偶性，并結(jié)合數(shù)列求和的知識(shí)分別進(jìn)行證明即可．

試題解析：（Ⅰ）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開(kāi)始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,從而= (3分)

=.        (5分)

（Ⅱ）證明：①若,則題意成立                 (6分)

②若,此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿(mǎn)足,即.

設(shè),則當(dāng)時(shí),.

從而此時(shí)命題成立                    (8分)

③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立.

綜上所述,原命題成立                   (10分)

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032304535271873000/SYS201403230454232500450627_DA.files/image023.png">,

所以=       (11分)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032304535271873000/SYS201403230454232500450627_DA.files/image039.png">>0,所以只要證明當(dāng)時(shí)不等式成立即可.

而

             (13分)

①當(dāng)時(shí),

  (15分)

②當(dāng)時(shí),由于>0,所以<

綜上所述,原不等式成立                      (16分)

考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推關(guān)系;2.等差，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;3.不等式的證明