Question

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是(0，-)和(0，)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線E的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F恰好是橢圓C的右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C和拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l₁、l₂，l₁交拋物線E于點(diǎn)A、B，l₂交拋物線E于點(diǎn)G、H，求的最小值．

Answer 1

（I）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）最小值為16．

解析試題分析：（I）由題意得c=，，從而=1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．該橢圓右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，即拋物線的焦點(diǎn)為(1，0)，所以，拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）設(shè)l₁的方程：，l₂的方程，，，，.注意，且它們交于點(diǎn)，所以可將作如下變形： ==||·||+||·||，這樣先將||·||+||·||用表示出來(lái)，再利用韋達(dá)定理用表示，從而求得其最小值.
試題解析：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)，焦距為2c，
則由題意得c=，，
∴a=2，=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                  4分
∴右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．
設(shè)拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
∴，
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                  6分
（Ⅱ）設(shè)l₁的方程：，l₂的方程，
，，，，
由 消去y得：，
∴ x₁+x₂=2+，x₁x₂=1．
由消去y得：x²-(4k²+2)x+1=0，
∴x₃+x₄=4k²+2，x₃x₄=1，                    9分
∴
=
=||·||+||·||
=|x₁+1|·|x₂+1|+|x₃+1|·|x₄+1|
=(x₁x₂+x₁+x₂+1)+(x₃x₄+x₃+x₄+1)
=8+
≥8+
=16．
當(dāng)且僅當(dāng)即k=±1時(shí)，有最小值16．        13分
考點(diǎn)：1、橢圓與拋物線；2、直線與圓錐曲線.