Question

設數列{a_n}的首項a₁∈(0，1)，，n＝2，3，4，….（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；（Ⅱ）設，證明b_n＜b_n+1，其中n為正整數．

Answer 1

(Ⅰ) a_n＝1－(1－a₁)(－)^n-1  (Ⅱ)見解析

（Ⅰ）由，n＝2，3，4，….整理得1－a_n＝－ (1－a_n-1)．
又1－a₁≠0，所以{1－a_n}是首項為1－a₁，公比為－的等比數列，得a_n＝1－(1－a₁)(－)^n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0＜a_n＜，故b_n＞0．那么，
b_n+1²－b_n²＝a_n+1²(3－2a_n+1)－a_n²(3－2a_n)＝()²(3－2×)－a_n²(3－2a_n)＝ (a_n－1)².
又由（Ⅰ）知a_n＞0，且a_n≠1，故b_n+1²－b_n²＞0，因此  b_n＜b_n+1，為正整數．