Question

設f(x)＝ax³＋bx＋c(a≠0)為奇函數，其圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導函數f′(x)的最小值為－12.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)求函數f(x)的單調增區間，并求函數f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

Answer 1

(1)；(2) 、

解析試題分析：(1)根據為奇函數可得。由導數的幾何意義可得，的最小值可求，從而可得的解析式。(2)先求導，在令導數大于0得增區間，令導數小于零得減區間，從而求得在上的極值。再求兩端點處函數值，比較極值與端點處函數值最小的為最小值，最大的為最大值。
試題解析：
解：(1)∵為奇函數，∴                   1分
即，∴.                     2分
又的最小值為，∴.         4分
由題設知，∴，
故                                                 6分
(2)                      7分
當變化時，、的變化情況表如下：

∴函數的單調遞增區間為和         8分
∵，極小值，極大值，
當時， ；當時，.          10分
考點：1求導；2導數的幾何意義；3用導數求函數的極值和最值。