Question

設函數f(x)＝a為常數且a∈(0，1)．

(1)當a＝時，求f；

(2)若x0滿足f[f(x0)]＝x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為f(x)的二階周期點．證明函數f(x)有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點x1，x2；

(3)對于(2)中的x1，x2，設A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，記△ABC的面積為S(a)，求S(a)在區間[，]上的最大值和最小值．

 

Answer 1

（1）（2）見解析，x1＝，x2＝（3）最小值為，最大值為

【解析】(1)當a＝時，f＝，f＝f＝2＝.

(2)證明：f[f(x)]＝

當0≤x≤a2時，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二階周期點；

當a2<x≤a時，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因為f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二階周期點；

當a<x<a2－a＋1時，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，

因為f＝·＝，故x＝不是f(x)的二階周期點；

當a2－a＋1≤x≤1時，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)，因為f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二階周期點．

因此，函數f(x)有且僅有兩個二階周期點，x1＝，x2＝.

(3)由(2)得A(，)，B(，)，則S(a)＝，

S′(a)＝·.

因為a∈[，]，有a2＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3(a－)(a－)，

因為a∈(0，1)，所以g′(a)<0，則g(a)在區間[，]上最小值為g()＝>0，故對于任意a∈[，]，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)則S(a)在區間[，]上單調遞增，故S(a)在區間[，]上的最小值為S()＝，最大值為S()＝.