Question

設0＜θ＜π，則sin

θ

2

(1+cosθ)的最大值為

4 3

9

．

Answer 1

分析：可令y=sin

θ

2

（1+cosθ）=2cos2

θ

2

•sin

θ

2

，則y²=2cos2

θ

2

•cos2

θ

2

•2sin2

θ

2

≤2•(

cos2 θ 2 +cos2 θ 2 +2sin2 θ 2

3

)3=

16

27

．開方即可．

解答：解：令y=sin

θ

2

（1+cosθ），則y=sin

θ

2

（1+cosθ）=2cos2

θ

2

•sin

θ

2

，
∴y²=2cos2

θ

2

•cos2

θ

2

•（2sin2

θ

2

）≤2•(

cos2 θ 2 +cos2 θ 2 +2sin2 θ 2

3

)3=

16

27

，
∴|y|≤

4 3

9

．
故sin

θ

2

(1+cosθ)的最大值為

4 3

9

．

點評：本題考查二倍角的余弦，難點在于解題突破口的思考：三個正數的基本不等式的應用，屬于難題．