Question

已知函數f(x)＝ln x－．
(1)當a>0時，判斷f(x)在定義域上的單調性；
(2)f(x)在[1，e]上的最小值為，求實數a的值；
(3)試求實數a的取值范圍，使得在區間(1，＋∞)上函數y＝x²的圖象恒在函數y＝f(x)圖象的上方．

Answer 1

（1）f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數
（2）a＝－    （3）a≥－1

(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，
當a>0時，f′(x)>0恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數．
(2)由f′(x)＝0得x＝－a，
①當a≥－1時，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為增函數．
f(x)_min＝f(1)＝－a＝得a＝－(舍)．
②當a≤－e時，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為減函數．
則f(x)_min＝f(e)＝1－＝得a＝－(舍)．
③當－e<a<－1時，由f′(x)＝0得x₀＝－a．
當1<x<x₀時，f′(x)<0，f(x)在(1，x₀)上為減函數；
當x₀<x<e時，f′(x)>0，f(x)在(x₀，e)上為增函數．
∴f(x)_min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－．
綜上知：a＝－．
(3)由題意得：x²>ln x－在(1，＋∞)上恒成立，
即a>xln x－x³在(1，＋∞)上恒成立．
設g(x)＝xln x－x³(x>1)，則
g′(x)＝ln x－3x²＋1．
令h(x)＝ln x－3x²＋1，則
h′(x)＝－6x．
當x>1時，h′(x)<0恒成立．
∴h(x)＝g′(x)＝ln x－3x²＋1在(1，＋∞)上為減函數，
則g′(x)<g′(1)＝－2<0．
所以g(x)在(1，＋∞)上為減函數，
∴g(x)<g(1)<－1，故a≥－1