Question

設函數，.
（1）若曲線與在它們的交點處有相同的切線，求實數、的值；
（2）當時，若函數在區間內恰有兩個零點，求實數的取值范圍；
（3）當，時，求函數在區間上的最小值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）從條件“曲線與在它們的交點處有相同的切線”得到以及，從而列有關、的二元方程組，從而求出與的值；（2）將代入函數的解析式，利用導數分析函數在區間上的單調性，確定函數在區間上是單峰函數后，然后對函數的端點值與峰值進行限制，列不等式組解出的取值范圍；（3）將，代入函數的解析式，并求出函數的單調區間，對函數的極值點是否在區間內進行分類討論，結合函數的單調性確定函數在區間上的最小值.
試題解析：（1）因為，，所以，.
因為曲線與在它們的交點處有相同切線，
所以，且，
即,且，解得，；
（2）當時，，
所以，
令，解得，，
當變化時，、的變化情況如下表：

	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數的單調遞增區間為、，單調遞減區間為.
故在區間內單調遞增，在區間內單調遞減.
從而函數在區間內恰有兩個零點，當且僅當 ，
即，解得.
所以實數的取值范圍是.
（3）當，時，．
所以函數的單調遞增區間為、，單調遞減區間為．
由于，，所以．
①當，即時， ；
②當時，；
③當時，在區間上單調遞增，；
綜上可知，函數在區間上的最小值為
.