Question

已知函數（為常數）．
（1）當時，求的單調遞減區間；
（2）若，且對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）函數的單調遞減區間為；（2）實數的取值范圍是.

解析試題分析：（1）將代入函數解析式并求出相應的導數，利用導數并結合函數的定義域便可求出函數的單調遞減區間；（2）構造新函數，將問題轉化為“對任意時，恒成立”，進而轉化為，圍繞這個核心問題結合分類討論的思想求出參數的取值范圍.
試題解析：（1）的定義域為，，
當時，，                           2分
由及，解得，所以函數的單調遞減區間為      4分
（2）設，
因為對任意的，恒成立，所以恒成立，
，
因為，令，得，，                7分
①當，即時，
因為時，，所以在上單調遞減，
因為對任意的，恒成立，
所以時，，即，
解得，因為。所以此時不存在；            10分
②當，即時，因為時，，時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
因為對任意的，恒成立，所以，且，
即，解得，
因為，所以此時；                 13分
③當，即時，因為時，，
所以在上單調遞增，由于，符合題意；            15分
綜上所述，實數的取值范圍是                      16分
考點：函數的單調區間與導數、不等式恒成立、分類討論