Question

已知函數滿足，且 在上恒成立.
(1)求的值；
(2)若,解不等式；
(3)是否存在實數，使函數在區間上有最小值？若存在，請求出實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1），；（2）當，，當；（3）當時，在上有最小值－5.

解析試題分析：本題考查計算能力和分類討論的數學思想.（1）求函數的導數，由二次函數知識求恒成立問題；（2）求導，化為時，對b的值分類討論，分別求解；（3）對函數求導后，其導函數是一個二次函數，根據對軸稱與區間的關系來分類討論.
試題解析：（1）；

恒成立；
即恒成立；
顯然時，上式不能恒成立；
∴，由于對一切則有：
，即，解得：；
∴，.
（2）  
由得：；
即，即 ；
∴當，
，
當.
（3）假設存在實數使函數在區間 上有最小值－5.
圖象開口向上且對稱軸為
①當，此時函數在區間上是遞增的；

解得與矛盾；
②當，此時函數在區間上是遞減的，而在區間上是遞增的，
即
解得；
.
③當，此時函數在區間上遞減的；
,即
解得,滿足
綜上知：當時，在上有最小值－5.
考點：1、函數的導數及其應用；2、二次函數的圖象及其性質；3、分類討論的數學思想.