Question

如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，.

(1)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；

(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)？使得二面角的大小為60°，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

(1) ；(2) 存在點(diǎn),.

【解析】

試題分析：(1)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量線(xiàn)面角公式得

(2)可以先假設(shè)存在點(diǎn)D，然后利用向量的二面角公式計(jì)算.

試題解析：如圖，以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

可得.

(1)所以，平面的一個(gè)法向量

所以，

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為. 6分

(2)假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，設(shè)AD=，

則，設(shè)平面的法向量，

因?yàn)?/span>,，

且

所以 所以平面的一個(gè)法向量

又因?yàn)槠矫?/span>的一個(gè)法向量

所以

解得，因?yàn)?/span>，此時(shí),

所以存在點(diǎn)，使得二面角B1—DC—C1的大小為60°. 12分

考點(diǎn)：1.向量求線(xiàn)面角問(wèn)題；2.向量求二面角問(wèn)題.