Question

已知函數在處取得極值．
（I）求與滿足的關系式；
（II）若，求函數的單調區間；
（III）若，函數，若存在，，使得
成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）．  （Ⅱ）單調遞增區間為，，單調遞減區間為． （Ⅲ）的取值范圍是． 

本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確求導，確定分類標準，利用函數的最值解決恒成立問題。
（Ⅰ）求導函數，利用函數在x=1處取得極值，可得a與b滿足的關系式；
（Ⅱ）確定函數f（x）的定義域，求導函數，確定分類標準，從而可得函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a＞3時，確定f（x）在上的最大值，g（x）在上的最小值，要使存在m₁，m₂∈[
使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要|f（x）_max-g（x）_min|＜9，即可求得a的取值范圍．