Question

設f（x）是偶函數，且在（0，+∞）上是減函數，又f（-1）=0，則xf（x）＜0的解集是（　　）

• A、（-1，1）
• B、（1，+∞）
• C、（-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析：由題意，先求出不等式xf（x）＜0在（0，+∞）上的解集，再求出不等式xf（x）＜0在（-∞，0）上的解集．

解答：解：∵f（x）是偶函數，∴f（1）=f（-1）=0；
又∵f（x）在（0，+∞）上是減函數，
∴當0＜x＜1時，f（x）＞0，當x＞1時，f（x）＜0；
∴不等式xf（x）＜0在（0，+∞）上的解集是（1，+∞）；
又f（x）是偶函數，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函數，
當-1＜x＜0時，f（x）＞0，當x＜-1時，f（x）＜0；
不等式xf（x）＜0在（-∞，0）上的解集是（-1，0）；
綜上，xf（x）＜0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）；
故選：C．

點評：本題利用偶函數的性質，考查了不等式的解法，是基礎題．