Question

已知函數.
(I)當時,求的單調區間
(Ⅱ)若不等式有解,求實數m的取值菹圍；
(Ⅲ)定義：對于函數和在其公共定義域內的任意實數，稱的值為兩函數在處的差值。證明:當時,函數和在其公共定義域內的所有差值都大干2。

Answer 1

(I) a=0時，f（x）在（0，+）上單調遞增；當a<0時，f（x）在上單調遞增；f（x）在上單調遞減.(Ⅱ) m<0.(Ⅲ)證明詳見解析.

解析試題分析：(I)首先求出原函數的導數，然后分類求出>0或<0的解集，最后根據導數的性質，得出結論即可.(Ⅱ)由已知可知有解，構造函數 ，求導，利用基本不等式判斷導數的符號，確定函數 的單調性，求出最大值即可.(Ⅲ) 首先確定公共定義域（0，+），，然后構造函數和利用導函數的性質求出它們的單調性，極值點和極值，即可確定最值，求得
.
試題解析：(I)f（x）的定義域是（0，+），.
1.當a=0時，>0，所以f（x）在（0，+）上單調遞增；
2.當a<0時，由=0，解得，則時，>0，所以f（x）在上單調遞增；時，<0，所以f（x）在上單調遞減.
綜上所述，a=0時，f（x）在（0，+）上單調遞增；當a<0時，f（x）在上單調遞增；f（x）在上單調遞減.
(Ⅱ) 由題意有解，即有解，
因此只需有解即可.
設 ，則
因為，且時，.
所以<0，即<0，
故h（x）在單調遞減，
所以h（x）<h(0)=0,故m<0.
(Ⅲ)當a=0時，，f（x）與g（x）的公共定義域為，，
設，則，在上單調遞增，所以.
又設則
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以x=1為函數的極大值點，即，故.
即公共定義域內任一點差值都大于2.
考點：1.函數的導數；2.導數的性質；3.不等式的證明.