Question

如下圖，過曲線：上一點作曲線的切線交軸于點，又過作 軸的垂線交曲線于點，然后再過作曲線的切線交軸于點，又過作軸的垂線交曲線于點，，以此類推，過點的切線 與軸相交于點，再過點作軸的垂線交曲線于點（N）．
(1) 求、及數列的通項公式；(2) 設曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達式； (3) 在滿足(2)的條件下, 若數列的前項和為，求證：N.

Answer 1

(1) ，，；(2) ；(3)見解析.

試題分析：(1)利用導數求直線切線和切線的方程，從而易得的值，再得直線的方程，知點在直線上，所以，既得通項公式；(2)觀察圖形利用定積分求表達式；(3)分別求得及表達式，再用數學歸納法、二項式定理及導數的方法證明即可.
試題解析：(1) 由，設直線的斜率為，則.
∴直線的方程為.令，得，                       1分
∴， ∴. ∴.
∴直線的方程為.令，得.              2分
一般地，直線的方程為，
由于點在直線上，∴.                        3分
∴數列是首項為，公差為的等差數列.∴.              4分
（2）
.                                                6分
（3）證明： ,  8分
∴，.
要證明，只要證明，即只要證明.       9分
證法1：（數學歸納法）
①當時，顯然成立；
②假設時，成立，則當時，，
而，
，，
時，也成立，由①②知不等式對一切都成立.          14分
證法2：
.
所以不等式對一切都成立.                14分
證法3:令,則,
當時, ,
∴函數在上單調遞增. ∴當時, .
∵N, ∴,   即.∴.
∴不等式對一切N都成立.                      14分