Question

已知函數．
（1）當時，如果函數僅有一個零點，求實數的取值范圍；
（2）當時，試比較與1的大小；
（3）求證：

Answer 1

（1）的取值范圍是或；（2）①當時，，即；
②當時，，即；③當時，，即；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題考查函數與導數、導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值與最值等數學知識和方法，考查綜合運用數學知識和方法分析問題和解決問題的能力，考查函數思想和分類討論思想.第一問，先將代入得到解析式，因為僅有一個零點，所以和僅有一個交點，所以關鍵是的圖像，對求導，令和判斷函數的單調性，確定函數的極值和最值所在位置，求出具體的數值，便可以描繪出函數圖像，來決定的位置；第二問，先將代入，得到解析式，作差法比較大小，得到新函數，判斷的正負即可，通過對求導，可以看出在上是增函數且，所以分情況會出現3種大小關系；第三問，法一：利用第二問的結論，得到表達式，再利用不等式的性質得到所證表達式的右邊，左邊是利用對數的運算性質化簡，得證；法二，用數學歸納法證明，先證明當時不等式成立，再假設當時不等式成立，然后利用假設的結論證明當時不等式成立即可.
試題解析：（1）當時，，定義域是，
，令，得或.
∵當或時，，當時，，
∴的極大值是，極小值是.
∵當時，，當時，，
當僅有一個零點時，的取值范圍是或．    4分
（2）當時，，定義域為．
令，
，
在上是增函數．
①當時，，即；
②當時，，即；
③當時，，即．         8分
（3）（法一）根據（2）的結論，當時，，即．
令，則有，
．，
．                12分
(法二)當時，．
，，即時命題成立．
設當時，命題成立，即 ．
時，．
根據（2）的結論，當時，，即．
令，則有，
則有，即時命題也成立．
因此，由數學歸納法可知不等式成立.