Question

已知實數，曲線與直線的交點為(異于原點)，在曲線上取一點，過點作平行于軸，交直線于點，過點作平行于軸，交曲線于點，接著過點作平行于軸，交直線于點，過點作平行于軸，交曲線于點，如此下去，可以得到點，，…,,… . 設點的坐標為，.
（Ⅰ）試用表示，并證明；   
（Ⅱ）試證明，且（）；
（Ⅲ）當時，求證： （）.

Answer 1

見解析部分

（Ⅰ）點的坐標滿足方程組，所以,
解得： ，故，
因為，所以故，故.
（Ⅱ）由已知，，，
即：，                     
所以
因為，所以.           
下面用數學歸納法證明（）
○11當時，成立；
○22假設當時，有成立，（）
則當時，   
所以      
所以當時命題也成立，
綜上所述由○11，○22知（）成立.
(注：此問答題如：只是由圖可知，而不作嚴格證明，得分一律不超過2分)
（Ⅲ）當時，， ()，
所以.
因為，所以當時，由（Ⅱ）知，
所以有.
又因為，
所以，，
故有：