Question

已知在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為非零常數，為參數），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，直線的方程為.
（Ⅰ）求曲線的普通方程并說明曲線的形狀；
（Ⅱ）是否存在實數，使得直線與曲線有兩個不同的公共點，且（其中為坐標原點）？若存在，請求出；否則，請說明理由.

Answer 1

（1），當時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓，當時，曲線C為中心在原點的橢圓；（2）不存在.

解析試題分析：（1）先將曲線的參數方程轉化為普通方程，討論的值來判斷方程表示什么圖形；（2）聯立直線與曲線的方程，因為直線與曲線有2個不同的公共點，所以判別式大于0，所以，利用韋達定理將的關系代入中，解出與相矛盾，所以不存在.
試題解析：（Ⅰ）∵，∴可將曲線C的方程化為普通方程：.      2分
①當時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓；              4分
②當時，曲線C為中心在原點的橢圓.                     6分
（Ⅱ）直線的普通方程為：.                           8分
聯立直線與曲線的方程，消得，化簡得.
若直線與曲線C有兩個不同的公共點，則，解得.
又，                      10分
故.
解得與相矛盾.  故不存在滿足題意的實數.        12分
考點：1.極坐標系及直角坐標系的轉化；2.根與系數關系.