Question

（1）畫出函數y=-x²+2|x|+3的圖象，并指出函數的單調區間．
（2）不等式-x²+2|x|+3＜m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡函數y的解析式，根據二次函數的圖象特征畫出函數y的圖象．
（2）由題意可得函數y的最大值小于m．結合函數y的圖象可得，求得函數y的最大值，從而求得m的范圍．

解答：解：（1）y=-x²+2|x|+3=

-x2+2x+3=-(x-1)2+4 ， x≥0 -x2-2x+3=-(x+1)2+4 ， x＜0

，
函數圖象如圖所示．
函數在（-∞，-1]，[0，1]上是增函數；
函數在[-1，0]，[1，+∞）上是減函數．
所以函數的單調增區間是（-∞，-1]和[0，1]，
單調減區間是[-1，0]和[1，+∞）．
（2）由于不等式-x²+2|x|+3＜m恒成立，故由（1）可得函數y的最大值小于m．
結合函數y的圖象可得，當x=±1時，函數y取得最大值為 4，
∴m＞4，即m的取值范圍為 （4，+∞）．

點評：本題主要考查函數的圖象的作法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．