Question

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖像在點處的切線平行于軸．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極小值；
（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點，（）
證明：．

Answer 1

（1）（2）（3）證明如下

解析試題分析：解：（1）依題意得，則
由函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸得：
∴ 
（2）由（1）得 
∵函數(shù)的定義域為，令得或
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．故函數(shù)的極小值為
（3）證法一：依題意得，
要證，即證
因，即證 
令（），即證（）
令（）則
∴在（1，+）上單調(diào)遞減，
∴ 即，--------------①
令（）則
∴在（1，+）上單調(diào)遞增，
∴=0，即（）--------------②
綜①②得（），即．
【證法二：依題意得，
令則
由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又
即
考點：導(dǎo)數(shù)的運用
點評：導(dǎo)數(shù)常應(yīng)用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)的取值范圍等。