Question

設函數g(x)= (a，b∈R)，在其圖象上一點P(x,y)處的切線的斜率記為f(x)．
（1）若方程f(x)=0有兩個實根分別為一2和4，求f(x)的表達式；
（2）若g(x)在區間[一1，3]上是單調遞減函數，求a²+b²的最小值．

Answer 1

（1）f(x)= x²-2x-8（2）13

（1）根據導數的幾何意義知f(x)=g′(x)=x²+ax-b
由已知一2、4是方程x²+ax-b =0的兩個實根-
由韋達定理，,∴，f(x)= x²-2x-8
（2）g(x)在區間【-1.3】上是單調遞減函數，所以在【-1，3】區間上恒有
f(x)=g’(x)=x²+ax-b≤0，即f(x)=g’(x)=x²+ax-b≤0在【-1，3】恒成立，
這只需要滿足即可，也即
而a²+b²可以視為平面區域內的點到原點距離的平方，其中點（-2，3）距離原點最近，所以當時，a²+b²有最小值13