Question

已知數(shù)列滿足，且對任意非負(fù)整數(shù)均有：.
（1）求；
（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)；
（3）令，求證：.

Answer 1

：（1），；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）對m、n賦值，想方設(shè)法將條件變出.為了得到，顯然令m=n即可.
為了得到，令m=1，n＝0即可.
（2）首先要想辦法得相鄰兩項(xiàng)（三項(xiàng)也可）間的遞推關(guān)系.
要證數(shù)列是等差數(shù)列，只需證明為常數(shù)即可.
（3）數(shù)列中有關(guān)和的不等式的證明一般有以下兩種方向，一是先求和后放縮，二是先放縮后求和.在本題中，易得，∴
這是典型的用裂項(xiàng)法求和的題.故先求出和來，然后再用放縮法證明不等式.
試題解析：（1）令得，          1分
令，得，∴        3分
（2）令，得：
∴，又，
∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
∴
∴
∴            9分
（3）∴
∴    13分
考點(diǎn)：1、遞推數(shù)列；2、等差數(shù)列；3、不等式的證明.