Question

已知動圓Q與x軸相切，且過點A（0，2）．
（1）求動圓圓心Q的軌跡M方程；
（2）設B、C為曲線M上兩點，P（2，2），PB⊥BC，求點C橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y）為軌跡上任一點，則|y|=

x2+(y-2)2

≠0，由此能求出動圓圓心Q的軌跡方程．
（2）設B(x1，

1

4

x12+1)，C(x2，

1

4

x22+1)，由P（2，2），知

PB

=(x1-2，

1

4

x12 -1)，

BC

=(x2-x1，

1

4

x22-

1

4

x12)，由PB⊥BC，知(x1-2)(x2-x1)+(

1

4

x12-1)(

1

4

x22-

1

4

x12)=0，所以x2=-(x1+

16

x1+2

)，由此能求出點C橫坐標的取值范圍．

解答：解：（1）設P（x，y）為軌跡上任一點，則
|y|=

x2+(y-2)2

≠0，
化簡得動圓圓心Q的軌跡M方程：y=

1

4

x2+1．                                
（2）設B(x1，

1

4

x12+1)，C(x2，

1

4

x22+1)，
∵P（2，2），
∴

PB

=(x1-2，

1

4

x12 -1)，

BC

=(x2-x1，

1

4

x22-

1

4

x12)，
∵PB⊥BC，
∴

PB

•

BC

=0，
∴(x1-2)(x2-x1)+(

1

4

x12-1)(

1

4

x22-

1

4

x12)=0
∴x2=-(x1+

16

x1+2

)，
當x₁＞0時，x2=-(x1+

16

x1+2

) 
=-(x1+2+

16

x1+2

-2)
≤-(2

(x1+2)• 16 x1+2

-2)
=-6．
當x₁＜0時，x2=-(x1+

16

x1+2

) 
=-(x1+2)-

16

x1+2

+2
≥2

[-(x1+2)]•(- 16 x1+2

)+2
=10                     
∴x₂≥10 或x₂≤-6．
故點C橫坐標的取值范圍是（-∞，-6]∪[10，+∞）．

點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．解題時要認真審題，注意均值不等式的合理運用．