Question

已知正項等比數列{a_n}（n∈N^*），首項a₁=3，前n項和為S_n，且S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{nS_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（1）設正項等比數列{a_n}（n∈N^*），又a₁=3，∴an=3qn-1，
∵S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差數列，
∴2（S₅+a₅）=（S₃+a₃）+（S₄+a₄），
即2（a₁+a₂+a₃+a₄+2a₅）=（a₁+a₂+2a₃）+（a₁+a₂+a₃+2a₄），
化簡得4a₅=a₃，
∴4a1q4=a1q2，化為4q²=1，
解得q=±

1

2

，
∵{a_n}（n∈N^*）是單調數列，
∴q=

1

2

，an=

6

2n

．
（2）由（1）知Sn=6(1-

1

2n

)，
Tn=6(1-

1

2

)+6(2-

2

22

)+6(3-

3

23

)+…+6(n-

n

2n

)，
Tn=3n(n+1)-6(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)，
設Rn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，則2Rn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
兩式相減得Rn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴Tn=3n(n+1)-6Rn=3n(n+1)-12+

3(n+2)

2n-1

．