Question

（本小題滿分12分）．對任意函數，可按右圖構造一個數列發生器．記由數列發生器產生數列．

（Ⅰ）若定義函數，且輸入，請寫出數列的所有項；
（Ⅱ）若定義函數，且輸入，求數列的通項公式．
(Ⅲ)若定義函數，且要產生一個無窮的常數列，試求輸入的初始數據的值及相應數列的通項公式．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）數列的通項公式．
(Ⅲ) 當；當．

(I)先確定的定義域,然后把代入可得,再利用迭代關系可依次求出,.從而得出結論.
(II) 若，則，可得,然后構造等比數列求解即可.
(III)本題的實質是若要產生一個無窮的常數列，則在上有解.
即在上有解.
解：（Ⅰ）函數的定義域………1分
把代入可得，把代入可得，把代入可得
因為，
所以數列只有三項：………4分.
（Ⅱ）的定義域為，
若，則，
則，所以，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，所以，
即數列的通項公式．………8分
(Ⅲ) 若要產生一個無窮的常數列，則在上有解，………9分
即在上有解，則或，所以或 
即當
故當；當．………12分