Question

已知函數
（I）若為的極值點，求實數的值；
（II）若在上為增函數，求實數的取值范圍；
(Ⅲ)當時，方程有實根，求實數的最大值。

Answer 1

（I）（II） (Ⅲ) 實數的最大值為0

解析試題分析：（I）
因為為的極值點，所以，即，
解得。經檢驗，合題意 
（II）因為函數在上為增函數，所以
在上恒成立。
?當時，在上恒成立，所以在上為增函數，故 符合題意。         6分                                   
?當時，由函數的定義域可知，必須有對恒成立，
故只能，所以在上恒成立。  
令函數，其對稱軸為，
因為，所以，
要使在上恒成立，
只要即可，即，
所以。
因為，所以。
綜上所述，a的取值范圍為。 
（Ⅲ）當時，方程可化為。
問題轉化為在上有解，即求函數的值域。
因為函數，令函數， 
則，
所以當時，，從而函數在上為增函數，
當時，，從而函數在上為減函數，
因此。
而，所以，因此當時，b取得最大值0.   
考點：本小題主要考查導數在研究函數性質中的應用，考查學生分類討論思想的應用.
點評：導數是研究函數性質的有力工具，求極值時要注意驗根，因為極值點處的導數值為0，但是導數值為0的點不一定是極值點，涉及到含參數問題，一般離不開分類討論，分類標準要盡量做到不重不漏.