Question

平面直角坐標系中，直線截以原點為圓心的圓所得的弦長為
（1）求圓的方程；
（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標軸交于，當長最小時，求直線的方程；
（3）問是否存在斜率為的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經過原點．若存在，寫出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）x+y﹣2=0；（3）。

解析試題分析：（1）因為O點到直線x﹣y+1=0的距離為，（2分）
所以圓O的半徑為，故圓O的方程為        4分
（2）設直線的方程為，即bx+ay﹣ab=0，
由直線與圓O相切，得，即，       6分
，
當且僅當a=b=2時取等號，此時直線l的方程為x+y﹣2=0      8分
（3）設存在斜率為2的直線滿足題意，設直線為：，
則：得：        10分
依題意得；，
因為以為直徑的圓經過原點，
所以有：

所以存在斜率為2的直線滿足題意，直線為：        14分
考點：圓的方程；直線與圓的位置關系；基本不等式。
點評：此題主要考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識較多，綜合性較強。熟練掌握定理及法則以及知識點的靈活應用是解題的關鍵，是一道中檔題。