Question

（本小題滿分12分）已知函數，，，其中且.
（I）求函數的導函數的最小值；
（II）當時，求函數的單調區間及極值；
（III）若對任意的，函數滿足，求實數的取值范圍.

Answer 1

（I）；（II）單調增區間是，；單調減區間是；處取得極大值，在處取得極小值.（III）。

試題分析：（I），其中.
因為，所以，又，所以，
當且僅當時取等號，其最小值為. 2……………………4分
（II）當時，，.…5分
的變化如下表：

		0		0

 
所以，函數的單調增區間是，；單調減區間是.……7分
函數在處取得極大值，在處取得極小值.……8分
（III）由題意，.
不妨設，則由得. 
令，則函數在單調遞增.10分
在恒成立.
即在恒成立.
因為，因此，只需.
解得. 故所求實數的取值范圍為. …12分
點評：構造出函數，把證明轉化為證明在單調遞增是做本題的關鍵，運用了轉化思想，對學生的能力要求較高，是一道中檔題。