Question

(滿分12分)設函數。
（Ⅰ）若在定義域內存在，而使得不等式能成立，求實數的最小值；
（Ⅱ）若函數在區間上恰有兩個不同的零點，求實數的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)實數的最小值為。(Ⅱ)。

試題分析：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。  
求導得：，        ………3分
∵函數的定義域為，
當時，，∴函數在區間上是減函數；
當時，，∴函數在區間(0，+∞)上是增函數。
∴，    ∴。故實數的最小值為。     ………6分
(Ⅱ)由得：

由題設可得：方程在區間上恰有兩個相異實根………8分
設。∵，列表如下：

		－	0	＋
		減函數		增函數

 
∵，
∴。
從而有，                 ………10分
畫出函數在區間上的草圖

易知要使方程在區間上恰有兩個相異實根，
只需：，即：。      ………12分
點評：利用導數研究函數單調性、確定函數最值、研究函數圖象，是導數的基本應用。本題將“恒成立”問題轉化成求函數最值問題，將函數零點問題，轉化成研究函數單調性、求最值問題，凸顯轉化與化歸數學的重要性。