Question

在平面直角坐標系xOy中，點P是圓上一動點，x軸于點D.記滿足的動點M的軌跡為Γ.
(1)求軌跡Γ的方程；
(2)已知直線與軌跡Γ交于不同兩點A，B，點G是線段AB中點，射線OG交軌跡Γ于點Q，且.
①證明：
②求△AOB的面積S(λ)的解析式，并計算S(λ)的最大值.

Answer 1

(1)；(2)

解析試題分析：(1)由已知M是PD的中點，利用P點在圓上，可以求出M的點軌跡方程為；(2)點Q在(1)中的橢圓上，G是OQ上的分點，利用直線與橢圓的關系，可以找到λ與m和k的關系，并進一步將三角形AOB的面積表示成λ的函數關系式，再求出它的最大值.
試題解析：(1)設，則點，且  (1)
∵
∴    (2)
將(2)代入(1)，得
∴軌跡Γ的方程為；        5分
(2)①令
由消去y
得        6分
∴，即  (3)
∴
又由中點坐標公式，得
根據，得
將其代入橢圓方程，有
化簡得：  (4)        9分
②由(3)(4)得
∵  (5)
在△AOB中，  (6)
∴由(4)(5)(6)可得     12分
令
則(當且僅當t＝1時，即時取“＝”)
∴當時，取得最大值，其最大值為1.     13分
考點：動點軌跡，直線與橢圓的位置關系，中點坐標，平面向量的坐標運算，基本不等式，范圍與最值.