Question

已知函數（是自然對數的底數，）.
（Ⅰ）求的單調區間、最大值；
（Ⅱ）討論關于的方程根的個數。

Answer 1

解法一 （Ⅰ）的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

（Ⅱ）當即時，函數的圖象有兩個交點，即方程有兩個根.
當即時，函數的圖象有一個交點，即方程有一個根.
顯然當時，方程沒有根.

（Ⅰ）
當時，；當時
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

（Ⅱ）

通過圖象可對進行討論：
當即時，函數的圖象有兩個交點，即方程有兩個根.
當即時，函數的圖象有一個交點，即方程有一個根.
顯然當時，方程沒有根.
解法二 （Ⅰ），
由，解得，
當時，，單調遞減
所以，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是，
最大值為
（Ⅱ）令   
（1）當時，，則，
所以，
因為， 所以
因此在上單調遞增.
（2）當時，當時，，則，
所以，
因為，，又
所以 所以
因此在上單調遞減.
綜合（1）（2）可知 當時，，
當，即時，沒有零點，
故關于的方程根的個數為0；
當，即時，只有一個零點，
故關于的方程根的個數為1；
當，即時，
①當時，由（Ⅰ）知

要使，只需使，即；
②當時，由（Ⅰ）知
；
要使，只需使，即；
所以當時，有兩個零點，故關于的方程根的個數為2；
綜上所述：
當時，關于的方程根的個數為0；
當時，關于的方程根的個數為1；
當時，關于的方程根的個數為2.
【考點定位】本題考查了函數的單調性、函數的最值等主干知識，考查了數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想的綜合應用.第一問的研究為第二問進行數形結合鋪平了“道路”，使的相對位置關系更明晰.